Пенсионная задача финансовая математика

Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t 2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?

Пусть акции проданы в конце года t за t 2 тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся 20 − t лет под 25% годовых. Тогда цена акций на конец срока составит
тыс. руб. Найдём наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных t, не превосходящих 20. Имеем:

Найденная производная обращается в нуль в точке
и меняет в ней знак с плюса на минус. Следовательно, это точка максимума. Заметим, что

Из полученной оценки следует, что точка максимума лежит на интервале (8; 10). Сравним значения функции в точках 8, 9 и 10. Поскольку

наибольшее значением функции на множестве натуральных аргументов достигается в точке 9. Продавать акции необходимо в конце девятого года.

Ответ: в конце девятого года.

Без сравнения значений функции в точках 8, 9 и 10 не обойтись. Например, если точка максимума достаточно близка к точке 8, значение в точке 8 может оказаться больше, чем значение в точке 9.

Приведём другое решение.

Перекладывать деньги в банк имеет смысл, когда доход в 25% годовых, то есть ежегодное увеличение суммы в 1,25 раза, будет превосходить ежегодный квадратичный рост цен. Проследим за доходностью:

2-й год:
, 3-й год:
, 4-й год:
, 5-й год:
, 6-й год:
, 7-й год:
, 8-й год:
, 9-й год:
, 10-й год:

Коэффициент доходности k за 9-й год больше 1,25, а за 10-й год меньше 1,25. Покажем, что в следующие годы он будет далее уменьшаться. Действительно, в силу тождеств

получаем, что коэффициент k монотонно убывает с увеличением t.

Теперь можно сделать вывод о том, что в конце девятого года целесообразно переложить деньги в банк.

Наше внимание привлекли три темы :
1. Увеличение пенсионного возраста в РФ до 65 лет
2. Шум в СМИ по поводу «поколения Y ».Нежелания представителей этого поколения делать пенсионные отчисления.
3. Ещё один шум в СМИ : «Трое пенсионеров живут на содержании пятерых работающих.»
До пенсии мне остаётся совсем чуть- чуть.Ясен перец, увеличение пенсионного возраста меня не может не интересовать. Хоть бы и из простого любопытства.
Как человеку, немного знакомому с математикой стал любопытен пункт 3 :
«Трое пенсионеров живут на содержании пятерых работающих.»
Вот как-то не верится мне в этот тезис.
Сами ведь мы люди – неверующие.
Посчитаем ?
И уж если у нас чиста математическая задача…в жанре финаносовой математики…Начнём с конца, с пункта № 3.
«Трое пенсионеров живут на содержании пятерых работающих.»
Для правильного решения задачи необходимо правильное понимание поставленного вопроса.
И у меня сразу возникает вопрос : « А что такое есть ПЕНСИЯ ? ».
ПЕНСИЯ
(pension) Регулярное денежное пособие, выплачиваем ое государством лицам после
достижения пенсионного возраста
или же …
бывшим работодателем вышедшим на пенсию работникам.

Государственные пенсии могут быть связаны со взносами в страховой фон д
в течение трудовой жизни.

Пенсии по месту работы могут выплачиваться за счет
взносов работника и предпринимателей или без предварительных взносов
работника.

То есть, государственная пенсия –
1. Регулярное денежное пособие , выплачиваемое государством лицам после достижения из средств государства.
2. Регулярное денежное пособие , выплачиваемое государством из страховых взносов работника в течении трудовой жизни самому работнику.
Это что касается государственной пенсии.
А ведь ещё есть :
3. Регулярное денежное пособие ,сформированное :
1. из взносов работодателя
2. из взносов работника
3. или без предварительных взносов из средств работодателя.

Вы ещё не ржёте, почувствовав себя лохом ?
Тогда я продолжу…

Что такое государственная пенсия из средств государства ?
Рискну предложить такую формулировочку :
1. Это пенсия британской королевы из личных средств британской королевы.
У неё для этого есть и средства и статус.
- Государство – это я… - сказал один король.
2. Это пенсия из государственных средств, то есть из гос.бюджета.Который формируется из средств налогоплательщиков.
И именно пункт 2 подходит к случаю :
«Трое пенсионеров живут на содержании пятерых работающих.»
Для выполнения именно этого условия требуется что бы государственный пенсионный фонд был сформирован из взносов работающих налогоплательщиков .

Возможно,такой принцип формирования и распределения подходил для Советского Союза.С его декларацией общенародной собственности.
Или для крестьянской общины времён Российской Империи…

Но ведь мы с вами, господа,живём во времена победивших демократии,общества потребления и озверелого капитализма.
Где человек человеку – совсем не друг,не товарищ и не близкий родственник !

Так как в РФ формируется этот самый государственный пенсионный фонд ?
РФ идёт своим,оригинальным путём !
Видимо, что бы было умом Россию не понять…

Государственный пенсионный фонд формируется совершенно не из налогов. Он формируется из обязательных взносов !
Взносов как работодателей, так и работников.В процентах от фонда заработной платы.

Получается такая картинка маслом :

Добрый дядя Работодатель направляет в обязательном порядке часть зарплаты своего работника другому доброму дяде. Назовём его неизвестный ПФ.
Не знаю , как это выглядит в вашем понимании…А в моём – Работодатель недоплачивает часть заработка работнику.
При этом – отчуждает собственность работника, передавая эту собственность третьему лицу – ПФ.И даже не интересуясь мнением по этому поводу самого владельца собственности –взноса.
Никто не подскажет, как называется общественная формация, где человек не имеет права распоряжаться результатом своего труда ?
Феодальное или рабовладельческое ?
Кому не нравится Конституция РФ, где написано, что "Россия - это СОЦИАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВО" ?

Социальное государство – это там где человек не имеет права распоряжаться результатом своего труда….
Что же у нас получается ?

Работник и его работодатель перечисляют некоему ПФ часть заработка Работника.Конкретно – одну треть заработка.
И так 40 лет подряд.Ноне предлагается увеличить это веселье до 45 лет.И 45 лет спустя начать получать обратно одну треть от своих взносов.На данный момент взносы возвращаются всего лишь 40 лет спустя.
Перевожу с русского на русский :
Работник наполняет бассейн ПФ 40 лет своим потом и кровью.А 40 ( 45 ) лет ПФ возвращает , попользовавшись вдоволь вложения в Работника в бассейн.

Кого – нибудь ещё продолжает устраивать тезис, что в РФ пятеро работающих содержат трёх пенсионеров ?
Получается всё с точностью до наоборот :

три пенсионера обеспечивают безбедную жизнь пятерым работникам!
Только это – работники ПФ, наверное….

А на самом деле Работник в РФ за трудовой период обеспечивает себе трудовые накопления для более чем безбедной жизни.
Которыми воспользоваться просто не успевает – средняя продолжительность жизни 66 лет.Или таки 71 – 72 года ?
Не удалось мне найти однозначного ответа на этот вопрос…

Какой же вывод ?
Ответ дало поколение Y –
Не доверяйте свою пенсию социальному государству РФ !

Ничего личного – всего лишь немного математики и здравого смысла.

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 19 Декабря 2010 в 17:59, задача

Краткое описание

Задача №1 На сберегательный счет, открытый 3.02.2002, была положена сумма 7000 руб по простой ставке 7,5% годовых. Затем на этот счет 21.04.2002 была добавлена сумма 6600 руб. Потом со счета 3.08.2002 была снята сумма 5500 руб. Определить сумму, полученную при закрытии счета 20.11.2002. (Германская практика начисления процентов)
Задача №2
Банк начисляет проценты на вклады по простой годовой ставке 18,5%. Определить сумму, которую надо положить 9.03.2002, чтобы 2.09.2002 получить 7000 руб. (Французская практика начисления процентов).

Содержимое работы - 1 файл

финансовая математика.doc

На сберегательный счет, открытый 3.02.2002, была положена сумма 7000 руб по простой ставке 7,5% годовых. Затем на этот счет 21.04.2002 была добавлена сумма 6600 руб. Потом со счета 3.08.2002 была снята сумма 5500 руб. Определить сумму, полученную при закрытии счета 20.11.2002. (Германская практика начисления процентов)

3.02 21.04 3.08 20.11

FV₁=7000(1+76×0,075/360) = 7110,83 (руб);

FV₂=(7110,83 +6600)(1+102×0,075/360) = 14002,2 (руб);

FV₃=(14002,2 – 5500)(1+ 108×0,075/360) = 8693,5(руб).

Ответ: При закрытии счета 20.11.2002 будет получена сумма в размере 8693,5 руб .

Банк начисляет проценты на вклады по простой годовой ставке 18,5%. Определить сумму, которую надо положить 9.03.2002, чтобы 2.09.2002 получить 7000 руб. (Французская практика начисления процентов).

FV=7000 руб, i_s=18,5%, Т=360 дней.

PV = 7000/(1+177*0,185/360) = 7000/1,09096 = 6416,37 (руб).

Ответ: Чтобы получить 2.09.2002 сумму в размере 7000 руб, необходимо положить в банк, начисляющий проценты на вклады по простой годовой ставке 18,5%, 9.03.2002 сумму в размере 6416,37 руб.

Банк начисляет проценты на вклады по сложной годовой ставке i_c = 42%. Определить сумму, накопленную на счете за 2,5 года, при сумме вклада 6000 руб. Расчеты выполнить по точному и приближенному методам. Сравнить с суммой, накопленной по простой годовой ставке i_s=i_с.

Простые проценты

FV = 6000(1+2,5×0,42) = 12300 (руб);

Сложные проценты

2.1 приближенный метод

FV = 6000(1+0,42) 2,5 = 14417 (руб);

Точный метод (смешанный)

FV = PV(1+ i) а * (1+i*b), n=a+b

FV = 6000(1+0,42) 2 * (1+0.42*0.5) = 14639 (руб)

Ответ: Таким образом, смешанный (точный) метод является более выгодным для вкладчика при начислении процентов на вклады по сложной годовой ставке. При этом начисление процентов по сложной годовой ставке дает вкладчику больший доход, чем по простой ставке процентов.

Банк начисляет сложные проценты 6 раза в год по номинальной годовой ставке j= 48%. Определить сумму, накопленную на счете за 2 года, при сумме вклада 6000 руб. Сравнить с суммой, накопленной по сложной годовой ставке i_с = j .

PV=6000 руб, n=2 года,

FV = 6000(1 + 0,48/6) 6×2 = 15109 (руб);

FV = 6000(1+0,48) 2 = 13142,4 (руб).

Ответ: Для вкладчика более выгодным является тот случай, когда банк начисляет сложные проценты 6 раза в год по номинальной годовой ставке j= 48%, а не по сложной годовой ставке i_с = j. При этом разница между двумя наращенными суммами составляет 1966,6 руб.

Банк начисляет сложные проценты 4 раза в год по номинальной годовой ставке j = 80%. Определить сумму, которую надо положить в банк, чтобы через 3 года накопить 18000 руб. Сравнить с суммой вклада, положенного под сложную годовую ставку i_с = j.

FV=18000 руб, n=3 года.

PV = 18000/(1+0,8/4) 12 = 2018,82(руб);

PV = 18000/(1+0,8) 3 = 3086,42 (руб).

Ответ: Для того чтобы через 3 года накопить 18000 руб, необходимо положить в банк, который начисляет сложные проценты 4 раза в год по номинальной годовой ставке j = 80%, сумму равную 2018,82 руб. При этом эта сумма меньше той (3086,42 руб), которую надо положить в банк, начисляющий проценты по сложной годовой ставке равной 80%, для того чтобы накопить аналогичную сумму за такое же время (почти на 1000 руб).

На депозитный счет ежегодно в конце года в течение 15 лет будут вноситься 2200 руб, на которые будут начисляться сложные проценты по годовой ставке 6%. Определить сумму процентов, которую банк выплатит по окончанию срока хранения депозита.

R = 2200 руб, n=15 лет, i_c=6%.

Определим наращенную сумму:

S= 2200*((1+0,06) 15 -1)/0,06= 51207 (руб);

Определим сумму процентов, которую банк выплатит по окончанию срока хранения депозита:

I = 51207 – 33000 = 18207 (руб).

Ответ: По окончанию срока хранения депозита банк выплатит сумму процентов равную 18207 руб.

На взносы в пенсионный фонд, вносимые ежегодно в конце года, будут начисляться сложные проценты по ставке 10% годовых. Определить размер взносов, необходимых для накопления через 6 лет 50000 руб.

S = 50000 руб, n = 6 лет, i_c = 10%.

Определим размер взносов, необходимых для накопления через 6 лет 50000 руб:

R = 50*0,1/1,1 6 – 1 = 6480 (руб). Ответ: для накопления через 6 лет 50000 руб необходимо ежегодно в конце года вносить в пенсионный фонд сумму в размере 6480 руб, на которую будут начисляться сложные проценты по ставке 10% годовых.

В страховой фонд ежегодно в конце года будут поступать одинаковые взносы по 1200 руб, на которые 4 раза в год в конце каждого периода будут начисляться проценты по номинальной годовой ставке 28%. Определить сумму, накопленную в фонде за 5 лет.

R = 1200 руб, n = 5 года, j₄ = 28%.

Определим сумму, накопленную в фонде за 5 года:

S = R × (((1+i/m) nm )-1)/ (((1+i/m) m )-1)

S = 1200* ((1,07) 20 - 1)/(1,07 4 – 1) = 11079,9 руб

Ответ: За 5 лет ежегодных взносов в конце года в страховой фонд в размере 1200 руб, на которые 4 раза в год в конце каждого периода будут начисляться проценты по номинальной годовой ставке 28%, накопиться сумма в размере 11079,9 руб.

Определить размер взносов, необходимых для накопления в фонде 32000 руб за 2 года. Взносы будут поступать в конце каждого года, и на них 12 раз в год будут начисляться проценты по номинальной ставке 60%.

S = 32000 руб, n=2 лет, j₁₂ = 60%.

Определим размер взносов :

R = 32000* ((1,05) 12 -1)/(1,05 24 -1) = 11445,51 (руб).

Ответ: Для того чтобы накопить в фонде 32000 руб за 2 года, необходимо в конце каждого года делать взносы в размере 11445,51 руб, и на них 12 раз в год будут начисляться проценты по номинальной ставке 60%.

Определить сумму, которую надо положить под сложную годовую ставку 20% в банк, чтобы в течение 5 лет получать одинаковые выплаты в размере 3500 руб в конце каждого года.

R = 3500 руб, n = 5лет, i_c = 20%.

Определим сумму к концу 5 года:

А = 3500*(1-1,2 -5 )/0,2 = 10467(руб).

Ответ: Для того чтобы получать в течение 5 лет одинаковые выплаты в размере 3500 руб в конце каждого года, необходимо положить под сложную годовую ставку 20% в банк сумму равную 10467 руб.

Разработать план погашения кредита объемом 20000 руб выплатами в конце каждого года в течение 7 лет. Кредит взят под годовую сложную процентную ставку 10%.

Задачу решить тремя способами погашения кредита в рассрочку:

равными платежами общей суммы долга;
равными платежами основной суммы долга;
равными платежами в конце каждого полугодия по схеме потребительского кредита.

D = 20000 руб, n = 7 лет, i_c = 10%

1. Погашение кредита в рассрочку равными платежами общей суммы долга:

R = 20000*0.1/(1-1/1.1 7 ) = 4.10813 руб

Таким образом, план погашения кредита объемом 20000 руб равными платежами общей суммы долга в конце каждого года в течение 7 лет будет иметь вид:

№ года	остаток долга, руб	Срочная уплата, руб	Сумма выплаченных процентов, руб	Сумма погашения долга, руб
1	20000	4108,13	2000	2108,13
2	17891,87	4108,13	1789,187	2318,943
3	15572,93	4108,13	1557,293	2550,84
4	13022,09	4108,13	1302,209	2805,92
5	10216,17	4108,13	1021,617	3086,46
6	7129,71	4108,13	712,97	3395,16
7	3734,55	4108,13	373,455	3734,67
Итого:		28756,91	8756,731	20000,12

2. Погашение кредита в рассрочку равными платежами основной суммы долга:

Определим сумму погашения долга в конце каждого года:

D = PV/N ; D = 20000/7 = 2857,143 (руб)

Таким образом, план погашения кредита объемом 20000 руб равными платежами основной суммы долга в конце каждого года в течение 7 лет будет иметь вид:

Я — Ёшкин Внук.
Внук Бабы Яги.
Сегодня будет многа букаф и никаких картинок.
Кроме итоговой картины маслом….

Наше внимание привлекли три темы:
1. Увеличение пенсионного возраста в РФ до 65 лет
2. Шум в СМИ по поводу «поколения Y».Нежелания представителей этого поколения делать пенсионные отчисления.
3. Ещё один шум в СМИ: «Трое пенсионеров живут на содержании пятерых работающих.»
До пенсии мне остаётся совсем чуть- чуть.Ясен перец, увеличение пенсионного возраста меня не может не интересовать. Хоть бы и из простого любопытства.
Как человеку, немного знакомому с математикой стал любопытен пункт 3:
«Трое пенсионеров живут на содержании пятерых работающих.»
Вот как-то не верится мне в этот тезис.
Сами ведь мы люди – неверующие.
Посчитаем?
И уж если у нас чиста математическая задача…в жанре финаносовой математики…Начнём с конца, с пункта № 3.
«Трое пенсионеров живут на содержании пятерых работающих.»
Для правильного решения задачи необходимо правильное понимание поставленного вопроса.
И у меня сразу возникает вопрос: « А что такое есть ПЕНСИЯ? ».
ПЕНСИЯ
(pension) Регулярное денежное пособие, выплачиваемое государством лицам после
достижения пенсионного возраста
или же …
бывшим работодателем вышедшим на пенсию работникам.

Государственные пенсии могут быть связаны со взносами в страховой фонд
в течение трудовой жизни.

То есть, государственная пенсия –
1. Регулярное денежное пособие, выплачиваемое государством лицам после достижения из средств государства.
2. Регулярное денежное пособие, выплачиваемое государством из страховых взносов работника в течении трудовой жизни самому работнику.
Это что касается государственной пенсии.
А ведь ещё есть:
3. Регулярное денежное пособие,сформированное:
1. из взносов работодателя
2. из взносов работника
3. или без предварительных взносов из средств работодателя.

Вы ещё не ржёте, почувствовав себя лохом?
Тогда я продолжу…

Что такое государственная пенсия из средств государства?
Рискну предложить такую формулировочку:
1. Это пенсия британской королевы из личных средств британской королевы.
У неё для этого есть и средства и статус.
- Государство – это я… — сказал один король.
2. Это пенсия из государственных средств, то есть из гос.бюджета.Который формируется из средств налогоплательщиков.
И именно пункт 2 подходит к случаю:
«Трое пенсионеров живут на содержании пятерых работающих.»
Для выполнения именно этого условия требуется что бы государственный пенсионный фонд был сформирован из взносов работающих налогоплательщиков.

Так как в РФ формируется этот самый государственный пенсионный фонд?
РФ идёт своим,оригинальным путём!
Видимо, что бы было умом Россию не понять…

Государственный пенсионный фонд формируется совершенно не из налогов. Он формируется из обязательных взносов!
Взносов как работодателей, так и работников.В процентах от фонда заработной платы.

Получается такая картинка маслом:

Добрый дядя Работодатель направляет в обязательном порядке часть зарплаты своего работника другому доброму дяде. Назовём его неизвестный ПФ.
Не знаю, как это выглядит в вашем понимании…А в моём – Работодатель недоплачивает часть заработка работнику.
При этом – отчуждает собственность работника, передавая эту собственность третьему лицу – ПФ.И даже не интересуясь мнением по этому поводу самого владельца собственности –взноса.
Никто не подскажет, как называется общественная формация, где человек не имеет права распоряжаться результатом своего труда?
Феодальное или рабовладельческое?
Кому не нравится Конституция РФ, где написано, что «Россия — это СОЦИАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВО»?

Работник и его работодатель перечисляют некоему ПФ часть заработка Работника.Конкретно – одну треть заработка.
И так 40 лет подряд.Ноне предлагается увеличить это веселье до 45 лет.И 45 лет спустя начать получать обратно одну треть от своих взносов.На данный момент взносы возвращаются всего лишь 40 лет спустя.
Перевожу с русского на русский:
Работник наполняет бассейн ПФ 40 лет своим потом и кровью.А 40 (45) лет ПФ возвращает, попользовавшись вдоволь вложения в Работника в бассейн.

Кого – нибудь ещё продолжает устраивать тезис, что в РФ пятеро работающих содержат трёх пенсионеров?
Получается всё с точностью до наоборот:

три пенсионера обеспечивают безбедную жизнь пятерым работникам!
Только это – работники ПФ, наверное….

А на самом деле Работник в РФ за трудовой период обеспечивает себе трудовые накопления для более чем безбедной жизни.
Которыми воспользоваться просто не успевает – средняя продолжительность жизни 66 лет.Или таки 71 – 72 года?
Не удалось мне найти однозначного ответа на этот вопрос…

Какой же вывод?
Ответ дало поколение Y –
Не доверяйте свою пенсию социальному государству РФ!

Ничего личного – всего лишь немного математики и здравого смысла.

Ответ: в конце девятого года.

Приведём другое решение.

2-й год:
, 3-й год:
, 4-й год:
, 5-й год:
, 6-й год:
, 7-й год:
, 8-й год:
, 9-й год:
, 10-й год:

получаем, что коэффициент k монотонно убывает с увеличением t.

Теперь можно сделать вывод о том, что в конце девятого года целесообразно переложить деньги в банк.

Тема: Сборник задач по финансовой математике с решением

Задача 1.

Вы поместили в банк вклад 100 тыс. руб. под простую процентную ставку 6% годовых. Какая сумма будет на счете через 3 года? Какова величина начисленных процентов?

P – вложенная сумма;

n – количество лет;

r – простая процентная ставка;

при Р=100000, n=3, r =6 получаем:

Величина начисленных процентов составит 18000 руб.

Задача 2.

Фирме нужно накопить 2 млн долл., чтобы через 10 лет приобрести здание под офис. Наиболее безопасным способом накопления является приобретение безрисковых государственных ценных бумаг, генерирующих годовой доход по ставке 5% годовых при полугодовом начислении процентов. Каким должен быть первоначальный вклад фирмы?

По формуле P =F/ (1 + r/m) nm , где

F – наращенная сумма

r – простая процентная ставка

n – количество лет

m- количество начислений в году

P=2000/(1+0.05/2) 2х10 =2000/1.25 20 =1219.5

Первоначальный вклад фирмы оставит 1219.5 млн. руб.

Задача 3.

Вы положили в банк на депозит 1000 долл. Банк начисляет сложные проценты по схеме — за первый год 4% годовых, а затем ставка увеличивается на 1% каждый год. Определить сумму, которая будет на Вашем счете через 4 года.

По формуле , где:

P – вложенная сумма

r – простая процентная ставка

n – количество лет

F=1000(1+0.04) 1 x(1+0.05) 1 x(1+0.06) 1 x(1+0.07) 1= 1239

Через 4 года на счете накопится 1239 долларов.

Задача 4.

В банк для учета предъявлены 2 векселя — один на сумму в 100 тыс. руб. и сроком погашения через год, второй — на сумму 150 тыс. руб. и сроком погашения через 2 года. Два векселя необходимо заменить одним, на сумму 250 тыс. руб. Определить срок погашения нового векселя при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.

Для определения срока погашения нового векселя необходимо составить уравнение эквивалентности контрактов, согласно которому владелец нового векселя должен получить такую же сумму, что и при учете двух векселей номиналом 100 тыс. руб. и 150 тыс. руб. Из полученного уравнения можно определить срок погашения нового векселя.

100000х(1-0,2)+150000х(1-0,2) 2 =250000х(1-0,2) n

Срок погашения нового векселя составит 1,57 года.

Задача 5.

Номинальная процентная ставка, компенсирующая действие инфляции, равна 52% годовых. Определите полугодовую инфляцию, если начисление сложных процентов осуществляется каждый квартал.

Приравниваем индекс инфляции к множителю наращения за год. Полагая r(4)=0,52, получим:

Iu (1) =(1+ r(4)/4) 4 = (1+0,52/4) 4 = 1,6305

Поэтому индекс инфляции за полгода (0,5) года составит:

Iu (0,5) = √Iu (1) =√1,6305=1,2769

Темп инфляции α находим из условия (1+α)=1

Темп инфляции за полгода равен 27,69%

Задача 6.

Клиент в конце каждого года вкладывает 300 тыс. руб. в банк, ежегодно начисляющий
сложные проценты по ставке 10% годовых. Определить сумму, которая будет на счете через 7 лет. Если эта сумма получается в результате однократного помещения денег в банк, то какой величины должен быть взнос?

По формуле FV_pst= A∑ (1+r) n- k =AхFM3(r,n)

При А=300; r=10%; n=7

Через 7 лет на счете накопится 2846100 руб.

Величину однократного взноса в начале первого года находим по формуле P=F/(1+r) n

При F=2846,1; r=10%; n=7

Взнос равен 1450440 руб.

Задача 7.

Фирме предложено инвестировать 200 млн руб. на срок 4 года при условии возврата этой
суммы частями (ежегодно по 50 млн руб.); по истечении четырех лет будет выплачено
дополнительное вознаграждение в размере 25 млн руб. При мет ли она это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 8% годовых?

По формуле F=Px(1+ r) n

При Р=200000; r=0,08; n=4 определим сумму, которая накопится на счете, если положить деньги в банк:

F1=200x(1+0,08) 4 =272,098

По формуле FV_pst= A∑ (1+r) n- k =AхFM3(r,n)

При А=50000; r=8%; n=4 определим будущую стоимость аннуитета постнумерандо:

С учетом дополнительного вознаграждения в 25млн. руб., при условии инвестирования 200млн, на конец четвертого года фирмы будет сумма, равная

F1>F2, поэтому фирме выгодно положить деньги в банк и не принимать данное предложение.

Задача 8.

За 10 лет необходимо накопить 60 тыс. руб. Какой величины должен быть первый вклад,
если предполагается каждый год увеличивать величину денежного поступления на 300 руб. и процентная ставка равна 15% годовых? Денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года. Определить, на какую величину необходимо увеличивать каждый год денежное поступление, если первый вклад будет равен 2,5 тыс. руб.

По формуле FV_pst=(A+z/r)FM3(r,n)-zn/r

Где n=10; FV_pst=60; z=0,3; r=0,15; находим размер первого вклада:

А=(60+0,3х10.0,15)/FM3(15%,10)-0,3/0,15=1,940 тыс. руб.

Если же известна величина первого вклада, то по той же формуле получим ≈ =0,15(60-2,5хFM3(15%,10)/FM3(15%,10)-10=0,135 тыс. руб.

Задача 9.

В течение 4-х лет на счет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, каждый год составляя в сумме 100 млн. руб. Определите сумму, накопленную к концу четвертого года при использовании процентной ставки 15% годовых, если начисление сложных процентов осуществляется ежегодно.

Поскольку платежи поступают достаточно часто, можно считать, что они поступают непрерывным образом. Тогда можно воспользоваться формулой FVpst=А*r/m 2 *ln(1+r/m)*FM3(r/m,mn)

для определения наращенной суммы непрерывного аннуитета при A=10; n=4, m=1, r=0,15:

К концу четвертого года на счете в банке накопится 535920000 руб.

Сравним этот результат со значением, полученным по формуле p-срочного анyуитета постнумепрандо при p=360; A=10/360; n=4, m=1, r=0,15:

FVpst=100/360⋅( 4,9934/((1+0,15) 1/360-1 /0,15)) =535,81.

К концу четвертого года на счете в банке накопится 535810000 руб.

Видим, что полученные величины отличаются на 3000 руб.

Задача 10.
Компания за предыдущий год выплатила 2 тыс. руб. за акцию. Согласно прогнозам дивиденды по акциям этой компании будут расти на 200 руб. ежегодно в течение неопределенно долгого времени. Сделайте вывод о целесообразности покупки акций компании по цене 33 тыс. руб., если можно поместить деньги в банк на депозит под 12% годовых. Изменится ли ситуация, если дивиденды по акциям будут расти на 6% ежегодно в течение неопределенно долгого времени?

1) Для ответа на вопрос необходимо найти приведенную стоимость бессрочного переменного аннуитета. По формуле FVpst=(A+z/r)*1/r, (z≥0)

при A=2000; z=200; r=0,12 получаем PV=320556.

Так как истинная стоимость акции меньше 33000, то приобретать ее за 33000 руб. не имеет смысла.

2) Для ответа на вопрос необходимо найти приведенную стоимость бессрочного переменного аннуитета. По формуле FVpst=(A/1+r-q), (1+r>q)

при A=2000; q=1,06; r=0,12 получаем PV=33333.

Так как истинная стоимость акции больше 33000, то имеет смысл приобрести ее за 33000 руб.

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы

Задание 17 Профильного ЕГЭ по математике — «экономическая» задача. Речь, как вы уже поняли, речь пойдет о деньгах. О кредитах и вкладах. О ситуациях, где нужно узнать, при каких значениях переменной будет максимальна прибыль или минимальны издержки. Кстати, само задание 17 оценивается на ЕГЭ в 3 первичных балла.

В этой статье:

Как научиться решать «экономические» задачи. С чего начать,

Две схемы решения задач на кредиты и как их распознать,

В чем основная сложность «экономической задачи»,

Задания на оптимальный выбор. В том числе — с применением производной.

Если материал покажется вам сложным — вернитесь к теме «Задачи на проценты» из первой части ЕГЭ по математике.

Надеемся, что вы уже сейчас сможете ответить на такие вопросы:

Что принимается за 100%?
Величина х увеличилась на p%. Как это записать?
Величина y дважды уменьшилась на р%. Как это записать?

Ответы на вопросы, а также подготовительные задачи — в статье «Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Кредиты и вклады. Начисление процентов». Повторите эту тему.

Запомним, что есть всего две схемы решения задач на кредиты

Первая схема: кредит погашается равными платежами. Или известна информация о платежах. Подробно здесь.

Вторая схема: равномерно уменьшается сумма долга. Или дана информация об изменении суммы долга Подробно здесь.

Посмотрите, чем эти схемы отличаются друг от друга. На какие ключевые слова в условии надо обратить внимание.

Потому что первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу на кредиты или вклады, — определить, к какому типу она относится.

1. 31 декабря 2014 года Аристарх взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Аристарх переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Аристарх выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Конечно, это задача первого типа. Есть информация о платежах. В условии сказано, что Аристарх выплатит долг четырьмя равными платежами.

тыс. рублей - сумма долга. Расчеты будем вести в тысячах рублей.

- коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов,

— сумма ежегодного платежа.

Составим схему погашения кредита. Заметим, что здесь 4 раза (то есть в течение 4 лет) повторяются одни и те же действия:

- сумма долга увеличивается в раз,

- Аристарх вносит на счет сумму в счет погашения кредита, и сумма долга уменьшается на . Вот что получается:

Что у нас в скобках? Да, это геометрическая прогрессия, и ее проще записать как

. В этой прогрессии первый член равен 1, а каждый следующий в k раз больше предыдущего, то есть знаменатель прогрессии равен k.

Применим формулу суммы геометрической прогрессии:

И выразим из этой формулы .

Что же, можно подставить численные данные. Стараемся, чтобы наши вычисления были максимально простыми. Поменьше столбиков! Например, коэффициент k лучше записать не в виде десятичной дроби 1,125 — а в виде обыкновенной дроби , Иначе у вас будет 12 знаков после запятой!

И конечно, не спешить возводить эту дробь в четвертую степень или умножать на S = 6902000 рублей.

Ответ: 2296350 рублей

Вот следующая задача.

2. Жанна взяла в банке в кредит 1,8 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 1 %, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна вернёт банку в течение первого года кредитования?

В этой задаче сумма долга уменьшается равномерно — задача второго типа.

Пусть S — первоначальная сумма долга, S = 1800 тысяч рублей.

Нарисуем схему начисления процентов и выплат. И заметим некоторые закономерности.

Сумма долга уменьшается равномерно. Можно сказать — равными ступеньками. И каждая ступенька равна После первой выплаты сумма долга равна после второй

Тогда первая выплата Вторая выплата ,

Последняя в году выплата

Сумма всех выплат в течение первого года:

В первой «скобке» — сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой Обозначим эту сумму

Во второй скобке — также сумма 12 членов арифметической прогрессии, в которой Эту сумму обозначим

Общая сумма выплат за год:

Ответ: 1066500 рублей.

Еще одна задача — комбинированная. Здесь мы рисуем такую же схему выплаты кредита, как в задачах второго типа.

3. В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размереSтыс. рублей. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

− в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

− выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

− к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Введем переменные: тысяч рублей. Рисуем схему погашения кредита:

Общая сумма выплат: Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой .

Это значит, что и тогда

Но не только задачи на кредиты и вклады могут встретиться в задании 17 Профильного ЕГЭ по математике. Есть еще задачи на оптимальный выбор. Например, нужно найти максимальную прибыль (при соблюдении каких-либо дополнительных условий), или минимальные затраты. Сначала в такой задаче нужно понять, как одна из величин зависит от другой (или других). Другими словами, нужна та функция, наибольшее или наименьшее значение которой мы ищем. А затем — найти это наибольшее или наименьшее значение. Иногда — с помощью производной. А если повезет и функция получится линейная или квадратичная — можно просто воспользоваться свойствами этих функций.

4. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары—стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Вид тары	Себестоимость, 1 центнера	Отпускная цена, 1 центнера
стеклянная	1500 руб	2100 руб
жестяная	1100 руб	1750 руб

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

По условию, завод не может выпускать компот только в стеклянных банках или только в жестяных — должны быть и те, и другие.

Пусть x — доля мощностей завода, занятых под поизводство компотов в стеклянных банках, а y — доля мощностей, занятых под производство компттов в жестяных банках, Тогда x+y=1. (Например, х=0,3 и у = 0,7 — то есть 30% производства — это компот в стеклянных банках, а 70% - компот в жестяных банках.

Если бы завод выпускал только компот в стеклянных банках, их бы получилось 90 центнеров в сутки. Однако выпускаются и те, и другие, и компотов в стеклянных банках производится 90x центнеров, а в жестяных банках - 80y центнеров в сутки.

Вид тары	Доля в общем количестве	Производится в сутки	Прибыль за 1 центнер
стеклянная	2100 - 1500 = 600 руб
жестяная	1750 - 1100 = 650 руб

Общая прибыль завода за сутки равна

По условию, и , то есть и

Нужно найти наибольшее значение выражения при выполнении следующих условий:

Подставим в выражение для прибыли завода за сутки. Получим, что она равна Это линейная функция от x. Она монотонно возрастает и свое наибольшее значение принимает при Тогда и максимально возможная прибыль завода за день равна

Ответ: 53500 руб.

Больше задач по финансовой математике на нахождение наибольших и наименьших значений функций и применение производной - здесь:

Вот такая она, задача с экономическим содержанием. Мы рассказали о ней самое главное. Если готов осваивать ее самостоятельно — желаем удачи. А если не все будет сразу получаться — приходи к нам в ЕГЭ-Студию на интенсивы, курсы или Онлайн-курс.

Читайте также: